W r. 1918 G. Duffing wyprowadził równanie, opisujące drgania rdzenia sprężystego, podwieszonego w silnym polu magnetycznym (zob. Rys. 1 ):

Równanie to jest równoważne układowi hamiltonowskiemu

z funkcją Hamiltona

Przeanalizujemy energię potencjalną

Ponieważ \( V'(x)=x \,(x-1)\, (x+1) \), więc ekstrema funkcji \( V(x) \) mogą się znajdywać w punktach \( x_0=0,\,\,\,x_{\pm}=\pm 1 \). Badanie drugiej pochodnej pozwala orzec że w punkcie \( x_0 \) jest maksimum lokalne, natomiast w punktach \( x_{\pm}=\pm 1 \) znajdują się minima lokalne. Konsekwentnie, w punkcie \( (0,\,0) \) płaszczyzny fazowej \( (x,\,y) \) znajduje się siodło, natomiast w punktach \( (\pm1,\,0) \) znajdują się środki. Przebieg zmienności funkcji \( V(x) \) jest przedstawiony na Rys. 2.

Funkcja \( V(x) \) ma dwa minima lokalne (zwane jamami potencjalnymi). Dąży ona asymptotycznie do \( +\infty , \) gdy \( |x| \to \pm \infty \). Na Rys. 2 przedstawione są również poziomice funkcji \( H_0=H(x,\,y) \). Na Rys. 3 przedstawione są trajektorie fazowe odpowiadające tym poziomicom. Trajektorie okresowe otaczające środki odpowiadają poziomicom leżącym wewnątrz jam potencjalnych; trajektorie homokliniczne, bi-asymptotyczne do siodła, odpowiadają poziomicom przechodzącym przez maksimum lokalne (pogrubione linie przerywane na Rys. 2; poziomicy najwyżej położonej odpowiada trajektoria okresowa otaczająca oba środki.

Interpretacja fizyczna omawianych rozwiązań jest następująca: ruchy okresowe dookoła punktów środkowych odpowiadają sytuacji, gdy rdzeń dokonuje małych drgań wokół jednego ze stabilnych punktów równowagi, które w obecności pola magnetycznego rdzeń posiada, gdy jest on odchylony od pionu w kierunku jednego z biegunów magnesu. Duże trajektorie okresowe otaczające oba środki odpowiadają dostatecznie dużym odchyleniom początkowym rdzenia. Trajektorie homokliniczne odpowiadają ruchom granicznym, oddzielającym małe lokalne drgania od dużych.

Omówione rozwiązania wyczerpują wszystkie możliwe ruchy rdzenia wyprowadzonego z położenia równowagi w polu magnetycznym.